Fuentes: Rebelión

Matemática es la materialización del pensamiento abstracto de numerosos pensadores del mundo; el hombre logró este perfeccionamiento luego de un largo deambular por la esfera del conocimiento intuitivo. Roma no contribuyó a esta ciencia, tal vez por lo difícil que es hacer cálculos con números romanos o por estar ocupada en conquistar el mundo y redactar sus leyes. Los griegos tuvieron una gran intuición geométrica y sus cálculos los realizaron desde esta perspectiva. El aporte matemático del Extremo Oriente, la India y el Asia Media llegó a Occidente gracias a los árabes.

Al-jebr wál-muqabela, tratado en cuyo título están las reglas fundamentales que permiten transformar las expresiones matemáticas, fue escrito por el astrónomo Mahommed, hijo de musa, nativo de Kharizmi, que vivió en el siglo IX. Al-jebr da origen a la palabra latina álgebra y hace referencia a las reglas que permiten pasar los miembros de una igualdad de un lado a otro; en cambio, muqabela permite simplificar las expresiones algebraicas; por su parte, al-kharizmi genera la palabra algoritmo, o sea, la cadena de pasos que permite hallar la solución de un problema.

Los números arábigos, procedentes de la India, fueron introducidos en el siglo X por los árabes a Europa y tienen la ventaja de ser posicionales, esto es, que cada lugar ocupado por un dígito implica cierta unidad decimal; así, el número 507 significa cinco centenas, más cero decenas y más siete unidades. Este sistema numérico es el único que goza de esta propiedad, al mismo tiempo, avanzada y elemental. Se debe notar que el concepto de cero decenas no rompe la cabeza de nadie, sin embargo, el número cero es una idea bastante avanzada porque representa la ausencia de cualquier cantidad; por ejemplo, uno puede decir que tiene cero dromedarios y ballenas en el bolsillo derecho, y esto es cierto respecto a cualquier cosa de la que se carezca. Tal vez por eso, el cero fue introducido en Occidente recién en el medievo.

Omar Jayam, célebre discípulo persa de Avicena del siglo XI, encontró la fórmula general del binomio de Newton y desarrolló métodos para calcular las raíces de las ecuaciones algébricas. En Samarkanda sistematizó las tablas trigonométricas y calculó la duración del año con una exactitud asombrosa, un error de un día en 3770 años; el calendario gregoriano de 1582 tiene un error de un día en 3330 años.

En el Renacimiento, y con ayuda de las traducciones del árabe al latín de numerosos trabajos de Euclides, Tolomeo, Arquímides, Aristólteles, Platón y más pensadores, Europa reencontró sus orígenes griegos. La tarea de crear una simbología para operar con los números, iniciada en Grecia, fue completada por Tartaglia, Vieta, Descartes y otros matemáticos. A partir de entonces, la ciencia europea no sólo alcanzó el nivel de sus predecesores sino que incluso lo sobrepasó con creces.

Se puede afirmar que saber contar es conocer matemática, solo que esta habilidad no es fácil, pues nuestra mente teme fantasear y se aferra a lo tangible, aparentemente más simple. Se recalca que para contar no hay que tener previamente la idea de número sino de cantidad. Así, al entrar al salón de un teatro se puede saber si hay más asientos que personas, para ello basta con notar si hay asientos vacíos y sobrentender que a cada espectador le corresponde un asiento. Pese a que no se conoce el número de asistentes ni el de asientos, se ha podido establecer con exactitud que el conjunto de asientos es más numeroso que el de asistentes al espectáculo. Esto sucede porque se ha realizado la operación más importante de la matemática, se ha establecido una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de sillas y del público. La idea de número requiere de una abstracción mayor y su complejidad se minimiza por lo acostumbrado que estamos a la misma.

Otra idea intuitiva, arraigada en nosotros, es que se puede contar sin límite. Se piensa así pese a que nunca alguien lo ha hecho, pues nadie se va a dedicar a esta tarea, muy aburrida por cierto; además, es poco lo que en toda una vida se lograría contar.

La ley para formar números cada vez más grandes es bastante simple, basta con añadir una unidad al último número contado para obtener uno mayor, y este procedimiento no tiene fin. Así, sin habérselo propuesto, se tiende un puente entre lo finito y lo infinito, esto es, se llega intuitivamente a la idea de infinito. Sin embargo, se supone que a esta abstracción le debe corresponder algo real, y esto no es así, no hay en la naturaleza ningún conjunto, por grande grande que sea, cuyo número de elementos sea infinito.

Cuentan que alguna vez le preguntaron a un niño cuál era el número más grande que podía imaginarse y él había respondido que era el número de gotas de agua que caían sobre New York durante una tormenta. Le hicieron notar que era mucho mayor el número de gotas de agua que caían sobre los Estados Unidos o sobre el mundo entero. Él estuvo de acuerdo, dijo que ese sería el mayor número que podría existir, que sería tan grande como un uno seguido de cien ceros y lo denominó google. Lo cierto del caso es que google es un número muy grande, mucho mayor que el número de átomos que hay en el universo, que a duras penas es igual a un uno seguido de ochenta ceros, que, sin embargo, es menor que infinito. No existe ningún número, por grande que sea, que se semeje al infinito.

Todo conjunto posee una cardinalidad que está relacionada con el número de sus elementos. Si se establece una correspondencia biunívoca entre los elementos de cualquier conjunto con el conjunto de los números enteros, igual a lo que se hizo con los asientos de un teatro y los asistentes a un espectáculo, se llama cardinalidad de este conjunto al número entero que se pone en correspondencia con el último elemento del conjunto; se dice entonces que la cardinalidad del conjunto es finita.

Si la cardinalidad del conjunto contado es la misma que la del conjunto de los números enteros, o sea si a cada elemento del conjunto contado le corresponde un entero y viceversa, se dice que la cardinalidad del conjunto contado es infinita numerable. Si en el conjunto contado quedan todavía elementos a los que no se le ha asignado un número entero, porque los enteros se terminaron y no hay cómo seguir contando, se dice que la cardinalidad de dicho conjunto es infinita innumerable.

En todo conjunto cuya cardinalidad es infinita sucede algo curioso. En él se cumple una de las conocidas leyes del Kybalion: “Si bien es cierto que todo está en el TODO, no es menos cierto que el TODO está en todas las cosas. Quien comprenda esto debidamente, ha adquirido un gran conocimiento”.

Aunque es evidente que el conjunto de los múltiplos de google, esto es la unidad seguida de cien ceros, es una parte de los enteros, se puede establecer una relación biunívoca entre ambos conjuntos, o sea, a cada entero N le corresponde el entero N googol y viceversa. Puesto que la regla para establecer esta equivalencia es clara, se puede afirmar que hay tantos enteros como múltiplos de google. Asombroso, pero cierto. En este caso, y muchos más, el todo no es mayor que una ínfima parte de sus partes, ni esta pequeña parte suya es menor que el todo. La cardinalidad de ambos conjuntos es la misma, por asombroso que pueda parecer.

Se dijo asombroso, porque el número de átomos que hay en el universo es menor que un uno seguido de ochenta ceros y se debería tener tantos universos, igual a la cantidad de granos de arenas que existen en todas las playas del mundo, para que el número de átomos que habría en todos esos universos fuese igual a un google; sin embargo, hay tantos múltiplos de google como números enteros. Increíble, pero cierto.

Se llama racional a cualquier número que se puede expresar mediante una fracción cuyo denominador es distinto de cero. Los griegos creían que todo número es racional, pero ellos mismos fueron los más sorprendidos cuando, luego de demostrar el teorema de Pitágoras, encontraron que existen números que no gozan de esa propiedad, como es la raíz de dos, igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen uno; sacrificaron una buena cantidad de bueyes en honor a tan insólita rareza matemática y llamaron irracionales a esos números. Luego de pasar más dos mil años, Georg Cantor, célebre matemático cuyos descubrimientos lo enloquecieron, demostró que el conjunto de los irracionales tiene una cardinalidad infinitamente mayor que la de los racionales, en otras palabras, que los irracionales son abundantes y no la rareza difícil de encontrar, que creyeron los griegos.

Para terminar, mediante una demostración matemática se constata que todo lenguaje es de por sí contradictorio, o sea, que no se puede hablar sin correr el riesgo de caer en entredicho, pues así están estructurados los idiomas; por lo tanto, si se expresa lo que uno piensa, no se está exento de caer en la más flagrante contradicción.

Esto era conocido por los griegos, que plantearon el siguiente problema. El barbero de Creta tiene por ley la obligación de hacer la barba a todo aquel que no se afeite. Se pregunta: ¿El barbero de Creta se afeita a sí mismo o no? Si no lo hace, rompe la ley, pues no afeita a alguien que no se afeita, y si se afeita, también rompe la ley, pues afeita a alguien que sí se afeita y sólo debe afeitar a aquellos que no se afeiten. Interesante, ¿no?